Teoria del Caos è un weblog che ha lo scopo di favorire la costruzione di una tesina di Fisica da presentare agli Esami di Stato del 2003.

 
[13] Ulteriori precisazioni

Dalle cose che hai detto ultimamente mi sembra di capire che lo sviluppo della tua tesina prevede la trattazione di un percorso culturale di tipo trasversale, interdisciplinare, che partendo dalla definizione di processo lineare, sviluppa tutta una serie di approfondimenti volti a mettere a fuoco sia il concetto di "processo non lineare", sia il passaggio dalla "non linearità" al "caos" (con i loro rispettivi modelli matematici) e, infine, l'idea di "complessità" con la quale si chiude una linea di riflessione che permette di comprendere quali sono state le principali tappe di questa nuova scienza. Se le cose stanno cosi', mi permetto di stimolare i tuoi interessi mediante i seguenti suggerimenti.
- Per quanto riguarda il contrasto tra processi lineari e processi non lineari, vedrei bene una riflessione circa le origini della meccanica classica dei sistemi con la preoccupazione di giustificare il tema con l'analisi di un caso specifico, che potrebbe essere la linearità del modello di un pendolo semplice, in modo da far vedere come si studia e si analizza concretamente un modello classico di sistema dinamico. Ti ricordo che ho parlato di pendolo semplice, cioè matematico, ovvero ideale, che non esiste in natura perchè sono assenti in esso le forze dissipative. La ragione di questa scelta è da ascrivere alla particolare modalità di analisi fisico-matematica di come si analizza uno dei sistemi naturali più importanti e, nello stesso tempo, più elementari di tutta la fisica. Kuhn chiama questi esempi classici e fondamentali con il nome di "esemplari" intendendo con cio' l'acquisizione, nella prassi della scienza normale, di casi fisici primitivi che soddisfano le condizioni di semplicità, accuratezza e fecondità. Con queste premesse segue che la linearità diventa una interessante categoria scientifica da intendere come prima approssimazione nell'evoluzione di un processo fisico.
- Il successivo passo sarebbe l'analisi della "non linearità" mediante, anche qui, un coerente esempio, che potrebbe essere benissimo il "pendolo fisico" o composto.
- Da qui, il passaggio ai sistemi dinamici e allo spazio delle fasi potrebbe portare all'analisi del pendolo caotico che concluderebbe questa prima fase di indagine.
- A questo punto le cose si complicano un po' perchè il successivo passaggio, dalla non linearità al caos mediante l'analisi di esempi che introducono il concetto di attrattore strano e attrattore caotico, diventa un momento importante della significatività del tuo approfondimento. Certo, porsi il problema di giustificare questi processi mediante, per esempio, la descrizione del caos nei sistemi reali con modelli matematici adeguati, potrebbe portare a giustificare l'esistenza del caos nei sistemi dinamici. Il che non è poco. Anzi. Diciamo che la questione centrale e fisica dell'intero approfondimento sarebbe delineata nella sua strategia generale.
- La "complessità" completerebbe, infine, il quadro concettuale del tuo approfondimento.
Piatto forte delle tue riflessioni in sede di esame dovrebbe essere, a mio parere, l'evidenziazione della tua capacità di saper rielaborare l'inadeguatezza del riduzionismo e, pertanto, riuscire a evidenziare in maniera semplice e schematica le lacune e le insufficienze della visione classica della scienza. Il come evidenziare questa linea di insufficienze dovrebbe essere centrato delineando il quadro delle scoperte della scienza contemporanea che vanno dal determinismo alla complessità. In altre parole si tratterebbe di introdurre prima il determinismo classico di Newton, Laplace, Lagrange, Eulero e la meccanica analitica, passare successivamente all'indeterminismo statistico di Clausius e Boltzmann e, infine, ma qui cade l'asino perchè noi non abbiamo completato il programma, passare alla indeterminazione quantistica (diciamo Plank, Bohr ed Heisemberg, ma ce ne sono tanti altri) e concludere con il caos deterministico che va da Poincarè a Prigogine.
E' ovvio che la traccia che ti ho suggerito, riguardante in particolare l'esempio del pendolo, potrebbe essere affiancata, in elettromagnetismo, dal modo in cui si presenta la scarica della corrente elettrica in un circuito LC e/o RLC che fa parte integrante del programma d'esame.
Se le cose stanno cosi' il mio consiglio è di andare a sfogliare il libro di C.S.Beruglia-F.Vaio, Non linearità, caos, complessità. Le dinamiche dei sistemi naturali e sociali, Torino, Bollati-Boringhieri, 2003. Vedrai che ti aiuterà molto.
Saluti.
posted by Zeno at 14:14

 

[12] Ottima presentazione

Nessuno ha mai preteso che il tema da te scelto, che ti ricordo essere un tema complesso e impegnativo, fosse sviluppato in modo completo e approfondito. Nessun insegnante liceale penserebbe di poter portare a termine un’impresa così impegnativa nei pochi mesi di fine anno che ci hanno preceduti. Cerchiamo, viceversa, di affrontare le questioni più significative che interessano il tuo percorso di approfondimento in modo concreto, nella prospettiva di costruire un discorso scientifico che abbia senso compiuto e originalità, in modo tale che la tua fatica possa essere premiata.

Cominciamo col dire che il tuo proposito di sviluppare il tema secondo la scaletta che hai proposto mi sembra adeguato e corretto. Quando affermi di voler fornire alla commissione di esami un quadro sintetico dei problemi che hanno portato alla nascita della "teoria del caos" e una presentazione degli obiettivi che essa si propone di conseguire, penso che ti muovi in un’ottica propositiva corretta che la commissione non mancherà di apprezzare.

La prima osservazione che mi sento di proporti è questa: in cosa consiste questa "teoria del caos" e per quale ragione l'hai scelta. La curiosità riguarda soprattutto il contenuto di questa teoria e il perché della tua preferenza. Dunque, quali sono i punti essenziali di questa teoria, i suoi presupposti, la ragion d'essere e le motivazioni della sua nascita e del suo sviluppo?

In secondo luogo, ti chiederei chi sono questi pionieri della teoria del caos che citi nella premessa e quale insuccesso iniziale essi hanno commesso. Passerei poi a una seconda serie di domande. Partendo dal fatto che non mi sembra per niente scontato che la "teoria del caos" abbia una portata rivoluzionaria (dovresti giustificarlo) ti chiedo in cosa consisterebbe questo aspetto rivoluzionario? E poi, visto che lo citi, come proporresti il confronto con le precedenti rivoluzioni scientifiche del primo novecento (relatività e quantistica)? Mi piacerebbe che tu potessi sviluppare, brevemente, questi elementi di innovazione che la "teoria del caos" avrebbe introdotto nel panorama della cultura scientifica. Potresti essere, per favore, più puntuale e analitica nel descrivere questi elementi? Cerca di comprendere che la questione è importante e non si può lasciare nel vago.

La parte successiva del tuo proposito mi sembra che tocchi temi meno concreti del precedente per il semplice motivo che entrano in questioni che non mi sembra abbiano una giustificazione nel contesto di un programma di matematica e di fisica d’esame svolto in modo tradizionale come quello che abbiamo sviluppato io e la tua prof.ssa di matematica. Quello che mi rende un po' perplesso nella linea giustificativa che hai scelto riguarda la poca chiarezza nel riuscire a individuare i temi specifici di fisica che entrano nella tesina. In altre parole, la fisica che tipo di contributo dà alle idee presenti nel tuo approfondimento? Devo dire la verità, non mi è chiaro.

Scusami se sono esigente nel parlare di contenuti, ma ho qualche anno più di te per credere che la significatività di una tesina non sta, a mio parere, né nelle parole ad effetto, né nella serie di temi più o meno entusiasmanti che possono essere sviluppati. Quello che è importante in una tesina di approfondimento è che essa possa permettere di sviluppare temi e implicazioni che abbiano senso compiuto e giustificazione chiara nel panorama epistemologico che la riguarda. E mi rimane difficile comprendere la logica dei temi da te scelti nello scenario di un corso di fisica inerente all’elettromagnetismo classico come quello che abbiamo studiato quest’anno. Dunque, mi sta bene che tu parli della "teoria del caos" in relazione a frattali e cose del genere ma io, come docente di fisica, ti chiedo di informare chi ti ascolterà agli esami del tipo di idee fisiche che hanno a che vedere con il caos.
E' ovvio che se la tesina ha a che vedere, per esempio, con effetti dissipativi, ovvero entropici, avrei visto bene delle disquisizioni di meccanica statistica, che invece nel tuo lavoro mancano. Se invece lo sviluppo della tua tesina prevede questioni inerenti a sistemi dinamici, ovvero sistemi complessi o sistemi a più corpi allora il discorso cambia perché si tratta di improvvisare risoluzioni di equazioni differenziali che non abbiamo sviluppato né in fisica, né in matematica. E la questione cambierebbe ancora una volta se tu avessi previsto temi che potessero interagire con la relatività e la quantistica. Ti chiedo solamente di evidenziare le ragioni delle tue scelte, nulla di più.

Credo, altresì, che è necessario mettersi d'accordo anche sui termini della questione. Che cosa intendiamo per "teoria del caos"? Se intendiamo che non c'è una legge deterministica che descrive il sistema in esame e che non è possibile dire quello che accadrà all’evoluzione di un sistema se non in termini probabilistici allora la questione assume una direzione più chiara e convincente. Da questo punto di vista la "teoria del caos" ha fatto capire che anche nell'ambito della meccanica classica il futuro è impredicibile. Ma questi sono discorsi troppo vaghi e certamente poco convincenti. Tra le tante cose sono dell’opinione che non si possa parlare concretamente di una teoria del caos in fisica. La "teoria del caos", se vogliamo essere più precisi, è essenzialmente un ramo della matematica, più precisamente della teoria dei sistemi dinamici non lineari. Il discorso corretto diventa allora il seguente. Un sistema, che presenta delle condizioni iniziali esattamente note, è deterministico se la sua evoluzione è esattamente determinata. Se però si considera un moto con condizioni iniziali anche pochissimo differenti, queste differenze vengono amplificate esponenzialmente nel moto successivo, fino a produrre un moto totalmente diverso dall'altro. Di fatto quindi, essendo impossibile dare con precisione assoluta le condizioni iniziali, è certo che dopo un tempo sufficientemente lungo il moto sarà del tutto imprevedibile.
La scoperta del "comportamento caotico ha portato a tentativi di trovare leggi generali divenute possibili solo da quando si è potuto disporre di computer dalle potenze di calcolo e di rappresentazione grafica adeguati.
L'argomento è comunque molto complicato da affrontare perché credo che sia innanzitutto difficile intendersi su che cosa si stia effettivamente parlando ed è questo il motivo della mia contrarietà a portare agli esami una tesina del genere.
In ogni caso buon lavoro.
posted by Zeno at 21:32

 
Questa è una breve presentazione del mio approfondimento di matematica e fisica. Mi limito a citare gli argomenti affrontati e i relativi collegamenti, in modo da darle un'idea del mio percorso. Naturalmente, non ho la pretesa di avere esaurito l'argomento o di averlo trattato in maniera completa. Inoltre, dal momento che nono sono in possesso delle conoscenze e delle competenze necessarie per affrontare questo tema da un punto di vista strettamente tecnico, ho cercato di concentrarmi sull'aspetto più teorico della questione. Quello che vorrei fare è fornire alla commissione un quadro sintetico dei problemi che portano alla nascita della teoria del caos e degli obiettivi che tale teoria si propone di raggiungere. Spero di riuscirci.
L'esposizione si articola nei seguenti punti:

- Presentazione dei "pionieri" della teoria del caos e insuccesso iniziale;
- portata rivoluzionaria della teoria e breve confronto con le precedenti rivoluzioni scientifiche del Novecento(relatività einsteiniana e meccanica quantistica);
- elementi di innovazione introdotti dalla teoria del caos (eliminazione delle linee di demarcazione tra le varie discipline scientifiche, opposizione al riduzionismo, importanza attribuita all'uso del computer e della matematica come scienza sperimentale, possibilità di applicazione della fisica al campo dell'esperienza quotidiana, , messa in discussione della prevedibilità deterministica),

La parte successiva dell'approfondimento è volta a dimostrare che, nonostante la teoria del caos abbia messo in discussione l'idea della prevedibilità, alcuni fenomeni ritenuti "aleatori" seguono delle leggi ben precise e sono più prevedibili di quanto si pensi.

- descrizione dell'esperienza di Lorenz e spiegazione dei concetti di "dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali" e di "effetto farfalla";

Il riferimento a Lorenz offre lo spunto per parlare di:
- cosa è un sistema dinamico;
- come un sistema semplice (quale quello studiato da Lorenz, costituito da tre sole equazioni non lineari), possa generare un comportamento complesso;
- cosa si intende per "spazio degli stati" "attrattore" e "attrattore caotico" (con riferimento ai sistemi fisici che sono rappresentati dai diversi tipi di attrattori);
- come si studia un attrattore caotico(tecnica della proiezione e mappa di Poincarè);
- attrattori come risultato di un processo di stiratura e piegamento dello spazio degli stati (riferimento agli esponenti di Ljapunov), che comporta un aumento dell'incertezza con la quale si può definire la condizione di un sistema in un determinato istante;
- spiegazione della differenza tra comportamento caotico e instabilità di un sistema

L'ultima parte dell'esposizione si propone lo scopo di mostrare come attrattori caotici siano alla base di numerosi sistemi fisici ritenuti aleatori. A tale scopo viene considerato come esempio i moto dei fluidi, studiato attraverso la realizzazione della Cella di Couette.
- Descrizione dettagliata dell'esperimento di Gollub e Swinney;
- illustrazione della regola di Takens, volta a risolvere il problema della rappresentazione, nello spazio degli stati, di un sistema dinamico in cui sono presenti numerose variabili

Conclusione: il fatto che il comportamento di sistemi fisici "caotici" sia descritto da attrattori strani implica che tali sistemi siano soggetti a determinate leggi, anche se non è possibile conoscerne gli stati futuri. Segue la definizione di "caos deterministico" e la differenza tra "caos deterministico" e "casualità".


All'interno di questo approfondimento, la matematica viene inserita partendo dalla spiegazione del concetto di attrattore caotico, che offre lo spunto per parlare delle strutture frattali. Il precorso prevede, dunque, una sezione dedicata al concetto di dimensione frattale, allo studio delle principali figure frattali, al legame tra frattali, iterazione e caos e al Teorema del collage(per lo studio del grado di complessità della funzione che, iterata, ha dato origine alla struttura frattale stessa).

posted by Anonimo at 21:02